Le analisi sull'infinito di Galileo e la teoria degli insiemi di Cantor

1- Classe cui è diretta l’U.D.
Questa unità didattica è finalizzata alla trattazione dell’insiemi numerici e della loro cardinalità, obiettivo inserito nella programmazione annuale della classe IV di un Istituto Tecnico Commerciale o in una classe V di un Liceo Scientifico.

2- Finalità
Con l’insegnamento di questa unità didattica si vuole che lo studente :
- comprenda le motivazioni che hanno portato alla formulazione della teoria degli insiemi e l’importanza che essa ha avuto nelle scienze statistiche e dell’informazione;
- sviluppi il proprio senso critico.

3- Tempi
L’unità didattica richiede un tempo di svolgimento di 3 ore.

4- Argomento trattato
Nel 1638 Galileo scrisse “Dialoghi intorno a due nuove scienze”; in questo trattato lo scienziato pisano cercò di fare delle considerazioni sugli insiemi numerici, trovandosi però in gravi difficoltà nel formulare ipotesi sulla cardinalità (cioè sul numero di elementi) degli insiemi infiniti.
Galileo dimostrò l’esistenza di una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di un sottoinsieme di N e gli elementi di N stesso.
Per arrivare a questa tesi Galileo considerò l’insieme dei quadrati di tutti i numeri interi; essi possono essere abbinati ad uno e un solo numero naturale:

E' quindi logicamente corretto supporre che i due insiemi considerati abbiano la stessa cardinalità. Ma ciò ci sembra paradossale: come può l’insieme dei quadrati dei numeri interi, sottoinsieme proprio[1] di N, avere lo stesso numero di elementi di N stesso?
Galileo, di fronte a questa incongruenza logica, concluse che le relazioni di “uguaglianza”, di “maggiore di” o “minore di” non sono applicabili agli insiemi infiniti, ma solo a quelli finiti, evitando quindi di lavorare con classi di grandezze non numerabili.
Ma come poter rimanere insensibili al fascino di una sfida matematica come questa?
La risposta non tardò infatti ad arrivare; fu il grande matematico tedesco Georg Cantor a tentare di risolvere il problema formulando una nuova teoria: la “teoria degli insiemi” che prende il suo nome.
Cantor partì proprio dal principio di corrispondenza biunivoca e lo rese parte della definizione stessa d’insieme:

“Per insieme intendiamo ogni unione, raccolta, aggregato, classe di oggetti determinati dalla nostra intuizione o dal nostro pensiero, ben distinti tra loro e che vengono chiamati elementi di un insieme[...]. Un insieme infinito è quello che si dimostra essere in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme proprio di se stesso”.[2]

In questo modo Cantor rispose al paradosso con cui Galileo si era scontrato nel trattare con insiemi infiniti.
Ma Cantor si rese conto che non tutti gli insiemi infiniti erano simili. Nel caso di insiemi finiti, si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità se possono essere messi in corrispondenza biunivoca gli uni con gli altri.
Per rappresentare il numero di elementi degli insiemi infiniti Cantor costruì una gerarchia di insiemi infiniti, a seconda della “potenza” dell’insieme. Cioè, per esempio, l’insieme di tutti i quadrati dei numeri naturali ha la stessa potenza di N stesso, per il fatto che questi insiemi possono essere messi in corrispondenza biunivoca l’uno con l’altro.Egli usò un particolare sistema di notazione; definì

(si legge "Alef con 0"), il numero transfinito che rappresenta la quantità d’interi nell’insieme di tutti gli N. Quindi se un insieme numerico può essere posto in corrispondenza biunivoca con N, allora esso stesso è un insieme "Alef con 0".
Ma come dimostrare l’esistenza di un insieme infinito con cardinalità maggiore dell’insieme "Alef con 0"? Cantor riuscì a provare in maniera definitiva che l’insieme R dei numeri reali, ha una potenza maggiore di quella dell’insieme delle frazioni razionali, la quale è anch’essa "Alef con 0"[3]. Per arrivare a questo asserto Cantor fece l’ipotesi che tutti i numeri fra 0 e 1 fossero numerabili, espressi da numeri decimali illimitati e che fossero ordinabili in ordine numerabile:

dove aij è una cifra compresa tra 0 e 1.
Cantor formò un numero decimale illimitato diverso da tutti quelli elencati, per dimostrare che non tutti i numeri reali sono compresi nel precedente ordinamento. Tale numero decimale, esprimibile come

dove bk=9 se akk =1 e bk=1 se akk ≠1. Questo numero è quindi diverso da tutti i numeri precedenti, ma sarà comunque compreso tra 0 e 1.
Con tale metodo Cantor dimostrò rigorosamente che esistono insiemi infiniti la cui cardinalità è maggiore di "Alef con 0", e quindi provò l’esistenza di una scala di infiniti all’interno della teoria degli insiemi trasfiniti.

[1] Un insieme A è un sottoinsieme proprio dell’insieme B se tutti gli elementi di A sono elementi di B, ma non tutti gli elementi di B sono elementi di A; cioè esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A.
[2] Contributi alla fondazione della teoria degli insiemi transfiniti, 1878-1883.
[3] La spiegazione di questo metodo, chiamato metodo della diagonale, è lunga e abbastanza tediosa. Rimando, chi fosse interessato, al testo “Il libro dei paradossi” di N. Falletta, dove il metodo è spiegato in maniera rigorosa con esempi grafici esplicativi, che in questo contesto non mi sembrava opportuno riproporre.