1- Classe cui è diretta l’U.D.Il paradosso di Zenone è finalizzato alla spiegazione delle serie a termini positivi convergenti, obiettivo inserito nella programmazione annuale della classe IV di un Istituto Tecnico Commerciale o in una classe V di un Liceo Scientifico.
2- Finalità
Con l’insegnamento di questa unità didattica si vuole che lo studente :
- rilevi i collegamenti esistenti tra i concetti matematici teorici dello studio delle serie e le motivazioni storiche e logiche che hanno portato alla scoperta del paradosso;
- impari a ragionare anche in termini di infinito;
- sviluppi il proprio senso critico.
3- Tempi
L’unità didattica richiede un tempo di svolgimento di 2 ore.
4- Argomento trattato
Uno dei paradossi più famosi, sia in filosofia che in matematica, è quello di Zenone, che può essere spiegato in questi termini.
Supponiamo di far fare una gara di corsa con due soli partecipanti: il pelide Achille, l’uomo più veloce del mondo secondo la mitologia greca, e una tartaruga. Achille, in maniera più canzonatoria che magnanima, offre alla povera tartaruga un vantaggio di m metri. Se i corridori partono allo stesso tempo t, chi dei due taglierà per primo la linea d’arrivo?
Nessuno di noi avrebbe alcun dubbio a riguardo: il buon senso ci dice che Achille vincerà la gara senza sforzo alcuno, che sarà lui ad arrivare primo.
Ma Zenone ci dimostra il contrario:
“Secondo è l’argomento detto Achille. Questo sostiene che il più lento non sarà mai raggiunto nella sua corsa dal più veloce. Infatti è necessario che chi insegue giunga in precedenza là di dove si mosse chi fugge, di modo che necessariamente il più lento avrà sempre un qualche vantaggio. Questo ragionamento è lo stesso di quello della dicotomia […]” Aristotele, Fisica, VI, 9.
Ipotizziamo che Achille sia 10 volte più veloce della tartaruga e che quest’ultima parta con un vantaggio di 100 metri; ora, mentre Achille avanza di 100 metri in un tempo t, la tartaruga si sarà portata avanti di 10 metri nel medesimo t. Achille a questo punto per raggiungere la tartaruga dovrà colmare questa nuova distanza: ma in questo lasso di tempo la tartaruga sarà avanzata di 1 metro; e quando Achille avrà superato questo nuovo distacco, la tartaruga sarà avanzata di 0,1 metri e così via all’infinito. Questo significa che Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga.
Da un punto di vista logico questo ragionamento non sembra fare una grinza; in realtà si giunge ad una tesi errata in quanto l’ipotesi fatta è in se stessa fallace.
Ci sono voluti quasi duemila anni affinché filosofi e matematici dessero una risposta soddisfacente a questo paradosso. Questa scoperta venne fatta solo dopo la fine dell’800; fu proprio grazie al paradosso di Zenone che i matematici concepirono l’idea delle serie infinite convergenti, e giunsero in breve tempo a dimostrare che una serie numerica, nonostante la sua infinità di addendi, può convergere ad un numero finito, cioè
L’unità didattica richiede un tempo di svolgimento di 2 ore.
4- Argomento trattato
Uno dei paradossi più famosi, sia in filosofia che in matematica, è quello di Zenone, che può essere spiegato in questi termini.
Supponiamo di far fare una gara di corsa con due soli partecipanti: il pelide Achille, l’uomo più veloce del mondo secondo la mitologia greca, e una tartaruga. Achille, in maniera più canzonatoria che magnanima, offre alla povera tartaruga un vantaggio di m metri. Se i corridori partono allo stesso tempo t, chi dei due taglierà per primo la linea d’arrivo?
Nessuno di noi avrebbe alcun dubbio a riguardo: il buon senso ci dice che Achille vincerà la gara senza sforzo alcuno, che sarà lui ad arrivare primo.
Ma Zenone ci dimostra il contrario:
“Secondo è l’argomento detto Achille. Questo sostiene che il più lento non sarà mai raggiunto nella sua corsa dal più veloce. Infatti è necessario che chi insegue giunga in precedenza là di dove si mosse chi fugge, di modo che necessariamente il più lento avrà sempre un qualche vantaggio. Questo ragionamento è lo stesso di quello della dicotomia […]” Aristotele, Fisica, VI, 9.
Ipotizziamo che Achille sia 10 volte più veloce della tartaruga e che quest’ultima parta con un vantaggio di 100 metri; ora, mentre Achille avanza di 100 metri in un tempo t, la tartaruga si sarà portata avanti di 10 metri nel medesimo t. Achille a questo punto per raggiungere la tartaruga dovrà colmare questa nuova distanza: ma in questo lasso di tempo la tartaruga sarà avanzata di 1 metro; e quando Achille avrà superato questo nuovo distacco, la tartaruga sarà avanzata di 0,1 metri e così via all’infinito. Questo significa che Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga.
Da un punto di vista logico questo ragionamento non sembra fare una grinza; in realtà si giunge ad una tesi errata in quanto l’ipotesi fatta è in se stessa fallace.
Ci sono voluti quasi duemila anni affinché filosofi e matematici dessero una risposta soddisfacente a questo paradosso. Questa scoperta venne fatta solo dopo la fine dell’800; fu proprio grazie al paradosso di Zenone che i matematici concepirono l’idea delle serie infinite convergenti, e giunsero in breve tempo a dimostrare che una serie numerica, nonostante la sua infinità di addendi, può convergere ad un numero finito, cioè
Nel caso specifico dell’esempio precedente bisogna risolvere la seguente somma: 100+10+1+1/10+1/100+....=100(1+1/10+1/100+...)
quindi risolvere la seguente serie:
Questa serie è convergente, essendo n>1, in quanto serie geometrica di ragione q, con q compreso tra (-1,1). Ciò dimostra dunque che in realtà Achille supererà la tartaruga ad un determinato t in quanto risulta finita la distanza che Achille dovrà percorrere per raggiungere la tartaruga, e di conseguenza risulta pure finito il tempo che il mitico Piè veloce impiegherà per sorpassare l’umile tartaruga. Infatti, dopo metri ad un certo tempo t1, Achille avrà raggiunto la tartaruga e da questo momento in poi l’avrà definitivamente superata.
Paul Valèry scrisse, in merito a questo paradosso:« Zénon! Cruel Zénon! Zénon d’Elée!
M’as-tu percé de cette fléche ailée
Qui vibre, vole, et qui ne vole pas !
Le son m’enfante et la fléche me tue !
Ah ! le soleil... Quelle ombre de tortue
Pour l’âme, Achille immobile á grands pas ! »[1]Non concordo con i detrattori di Zenone, che lo accusano di non essersi reso conto che la somma di infiniti segmenti può benissimo essere finita; in questo senso acconsento col Prof. Frajese che afferma che non tutti i paradossi sono frutto di scarsa conoscenza: molto spesso costituiscono una dimostrazione per assurdo contro alcune teorie non condivise pienamente; nello specifico Frajese pone Zenone in netta discordanza con la geometria democritea dell’atomismo seguita dai Pitagorici:
“I paradossi di Zenone rientrerebbero quindi nella fase cosiddetta della razionalizzazione della geometria, in cui si passò da una concezione della retta intesa materialmente a un ideale, con il conseguente necessario superamento del ruolo del numero razionale, caro ai Pitagorici che in esso scorgevano una manifestazione dell’armonia dell’universo, mediante l’introduzione di misure irrazionali.”
[1] Zenone! Crudele! Zenone eleata! M’hai tu trafitto con la freccia alata, che vibra, vola, eppure in vol non è! Mi dà il suon vita che la freccia fuga, ah! Questo sole...ombra di tartaruga per l’io, l’ immoto Achille lesto piè!
Nessun commento:
Posta un commento